3.713 \(\int \frac{\sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=174 \[ \frac{a \sin (c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}}-\frac{b \sin (c+d x) \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right )} \]

[Out]

(a*AppellF1[1/2, -1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*
(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2
)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.257051, antiderivative size = 174, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.174, Rules used = {3869, 2823, 3189, 429} \[ \frac{a \sin (c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right ) \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}}-\frac{b \sin (c+d x) \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x) F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right )}{d \left (a^2-b^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(a*AppellF1[1/2, -1/6, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d*
(Cos[c + d*x]^2)^(1/6)*Sec[c + d*x]^(1/3)) - (b*AppellF1[1/2, 1/3, 1, 3/2, Sin[c + d*x]^2, (a^2*Sin[c + d*x]^2
)/(a^2 - b^2)]*(Cos[c + d*x]^2)^(1/3)*Sec[c + d*x]^(2/3)*Sin[c + d*x])/((a^2 - b^2)*d)

Rule 3869

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_.), x_Symbol] :> Dist[Sin[
e + f*x]^n*(d*Csc[e + f*x])^n, Int[(b + a*Sin[e + f*x])^m/Sin[e + f*x]^(m + n), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f
, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && IntegerQ[m]

Rule 2823

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)/((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[a, Int[(d*
Sin[e + f*x])^n/(a^2 - b^2*Sin[e + f*x]^2), x], x] - Dist[b/d, Int[(d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(a^2 - b^2*Sin[e +
f*x]^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3189

Int[((d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[(ff*d^(2*IntPart[(m - 1)/2] + 1)*(d*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(m - 1)/
2]))/(f*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(m - 1)/2]), Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b - b*ff^2*x^2)^p, x]
, x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
-q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx &=\left (\cos ^{\frac{2}{3}}(c+d x) \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)\right ) \int \frac{\sqrt [3]{\cos (c+d x)}}{b+a \cos (c+d x)} \, dx\\ &=-\left (\left (a \cos ^{\frac{2}{3}}(c+d x) \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)\right ) \int \frac{\cos ^{\frac{4}{3}}(c+d x)}{b^2-a^2 \cos ^2(c+d x)} \, dx\right )+\left (b \cos ^{\frac{2}{3}}(c+d x) \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)\right ) \int \frac{\sqrt [3]{\cos (c+d x)}}{b^2-a^2 \cos ^2(c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{a \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt [6]{1-x^2}}{-a^2+b^2+a^2 x^2} \, dx,x,\sin (c+d x)\right )}{d \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}}+\frac{\left (b \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt [3]{1-x^2} \left (-a^2+b^2+a^2 x^2\right )} \, dx,x,\sin (c+d x)\right )}{d}\\ &=\frac{a F_1\left (\frac{1}{2};-\frac{1}{6},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right ) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right ) d \sqrt [6]{\cos ^2(c+d x)} \sqrt [3]{\sec (c+d x)}}-\frac{b F_1\left (\frac{1}{2};\frac{1}{3},1;\frac{3}{2};\sin ^2(c+d x),\frac{a^2 \sin ^2(c+d x)}{a^2-b^2}\right ) \sqrt [3]{\cos ^2(c+d x)} \sec ^{\frac{2}{3}}(c+d x) \sin (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right ) d}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 21.3229, size = 4543, normalized size = 26.11 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Sec[c + d*x]^(2/3)/(a + b*Sec[c + d*x]),x]

[Out]

(9*(a^2 - b^2)*Sec[c + d*x]^(5/3)*Sin[c + d*x]*((b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*
x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c
+ d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]
+ (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)
+ (a*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[
1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Ta
n[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (
b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(d*(Sec[c + d*x]^2)^(2/3)*(a + b*Sec[c + d*x])*(-a^2 + b^2
*Sec[c + d*x]^2)*((9*(a^2 - b^2)*(Sec[c + d*x]^2)^(1/3)*((b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*T
an[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (
b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^
2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c
+ d*x]^2) + (a*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*
AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2,
5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c +
d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2) - (18*b^2*(a^2 - b^2)
*(Sec[c + d*x]^2)^(1/3)*Tan[c + d*x]^2*((b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a
^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^
2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2
+ b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (a*Ap
pellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 2/3
, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*
x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[
c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)))/(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2)^2 - (12*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]^2*((b
*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2])/(9*(a^2 -
b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6
, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (a*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2,
(b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*
x]^2)/(a^2 - b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] +
2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2))
)/((Sec[c + d*x]^2)^(2/3)*(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2)) + (9*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]*((b*AppellF1[1/2, 1/6, 1,
3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x])/(9*(a^2 - b^2)*App
ellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2,
-Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2,
(b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (b*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*((2*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/
2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (AppellF1
[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9))/(9*(a^2
- b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1
/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[
c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) + (a*((2*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (4*AppellF1[3/2, 5/
3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9))/(-9*(a^2 - b^2)
*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2
, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c +
d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2) - (b*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (
b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sqrt[Sec[c + d*x]^2]*(2*(6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b
^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2
)/(a^2 - b^2)])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] + 9*(a^2 - b^2)*((2*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2
, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2,
-Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9) + Tan[c + d*x]^2*(6*b^2*((
12*b^2*AppellF1[5/2, 1/6, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*
x])/(5*(a^2 - b^2)) - (AppellF1[5/2, 7/6, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d
*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + (-a^2 + b^2)*((6*b^2*AppellF1[5/2, 7/6, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)
/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - (7*AppellF1[5/2, 13/6, 1, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (
b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/(9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 1/6, 1, 3/2,
-Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (6*b^2*AppellF1[3/2, 1/6, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*T
an[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + (-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, 7/6, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a
^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)^2 - (a*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2
)]*(-4*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^2)*A
ppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] - 9*
(a^2 - b^2)*((2*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]
^2*Tan[c + d*x])/(3*(a^2 - b^2)) - (4*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 -
b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/9) - 2*Tan[c + d*x]^2*(3*b^2*((12*b^2*AppellF1[5/2, 2/3, 3, 7/2, -Tan[c + d
*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(5*(a^2 - b^2)) - (4*AppellF1[5/2, 5/3,
2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + 2*(-a^2 + b^2)*((
6*b^2*AppellF1[5/2, 5/3, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x
])/(5*(a^2 - b^2)) - 2*AppellF1[5/2, 8/3, 1, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)]*Sec[c + d
*x]^2*Tan[c + d*x]))))/(-9*(a^2 - b^2)*AppellF1[1/2, 2/3, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 -
b^2)] - 2*(3*b^2*AppellF1[3/2, 2/3, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)] + 2*(-a^2 + b^
2)*AppellF1[3/2, 5/3, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (b^2*Tan[c + d*x]^2)/(a^2 - b^2)])*Tan[c + d*x]^2)^2))/((Sec[c
+ d*x]^2)^(2/3)*(-a^2 + b^2*Sec[c + d*x]^2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.097, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{1}{a+b\sec \left ( dx+c \right ) } \left ( \sec \left ( dx+c \right ) \right ) ^{{\frac{2}{3}}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sec(d*x+c)^(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

[Out]

int(sec(d*x+c)^(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (d x + c\right )^{\frac{2}{3}}}{b \sec \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sec(d*x + c)^(2/3)/(b*sec(d*x + c) + a), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec ^{\frac{2}{3}}{\left (c + d x \right )}}{a + b \sec{\left (c + d x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)**(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x)

[Out]

Integral(sec(c + d*x)**(2/3)/(a + b*sec(c + d*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\sec \left (d x + c\right )^{\frac{2}{3}}}{b \sec \left (d x + c\right ) + a}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sec(d*x+c)^(2/3)/(a+b*sec(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sec(d*x + c)^(2/3)/(b*sec(d*x + c) + a), x)